Resumen

-Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + b² + 2ab

 -Cuadrado de una resta: (a - b)² = a² + b² - 2ab

-Suma por diferencia:  (a + b)·(a – b) = a² - b²

^{Dividendo = divisor · cociente + resto}

Regla de Ruffini es un método que simplifica las operaciones en una división cuyo divisor es x – a.

Para hacerlo, ponemos los coeficientes del dividendo en fila y multiplicamos el primer coeficiente por a y lo sumamos al siguiente y así sucesivamente.

Un número a es la raíz del polinomio P(x), si P(a)=0.

Entonces, usando el teorema del resto, si dividimos P(x) por x – a, la división es exacta. Usando la prueba de la división: P(x) = Q(x) · (x – a). Por lo tanto, podemos descomponer el polinomio usando sus raíces, identidades notables, la ecuación de 2º grado, sacando factor común y la Regla de Ruffini

Una fracción con polinomios se denomina fracción algebraica.

Para simplificar fracciones algebraicas, divide numerador y denominador por el mismo polinomio. Para reducir a común denominador, hacemos lo mismo que con fracciones numéricas, usando el mcm.

Para sumar o restar fracciones algebraicas, necesitamos que tengan el mismo denominador. Entonces sumamos o restamos los numeradores.

Para multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos los numeradores y los denominadores. Para dividir, hacemos el producto en cruz.

Si P(x) es un polinomio, entonces:

x = r es una raíz de P(x) →{	(x- r) es un divisor de P(x)
	x = r es una solución de P(x) = 0

Entonces, para resolver ecuaciones de grado mayor que 2, tenemos que descomponer el polinomio P.

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin los términos de grado 1 y 3. Para resolverla hay que hacer el cambio de variable: z = x².

Entonces hay que resolver la ecuación de 2º grado resultante y deshacer el cambio.

Para resolver una ecuación racional, hay que hacer los mismo que en cualquier ecuación con denominadores, pero, al final, hay que eliminar las raíces del polinomio del denominador.

Cualquier ecuación con una variable en un radical se llama ecuación irracional.

Para resolver una de estas ecuaciones la clave está en quitar los radicales. Esto se hace aislando cada radical en uno de los lados y elevando al cuadrado ambos lados. Al final, siempre hay que comprobar las soluciones porque puede que alguna no sea correcta.

El método de Gauss es una generalización del método de reducción. El objetivo es, usando operaciones elementales, conseguir un sistema escalonado.

Este tipo de sistemas nos permiten obtener de forma sencilla la solución.

• Si hay ecuaciones absurdas (0z=7 por ejemplo) el sistema es incompatible.
• Si hay ecuaciones triviales (0z=0 por ejemplo) las eliminamos.
Al final si quedan tres ecuaciones no absurdas el sistema es compatible determinado y si quedan menos de tres el sistema es compatible indeterminado.

NOTA: intenta siempre reordenar el sistema para que a₁₁= ±1

Una ecuación exponencial es una ecuación con una incógnita en el exponente.

Una ecuación logarítmica es una ecuación con una incógnita en un logaritmo.

Tenemos que comprobar las soluciones para evitar logaritmos de números negativos, que no existen.

Para resolver una inecuación lineal, vamos obteniendo inecuaciones equivalentes hasta que despejemos la incógnita.

NOTA: hay que representar el intervalo solución.

En los sistemas de inecuaciones, hay que encontrar soluciones válidas para todas las inecuaciones.

Para resolver una inecuación de 2º grado:

–Se obtiene una inecuación equivalente con los monomios en un lado (como en las ecuaciones de 2º grado).

–Se resuelve la ecuación de 2º grado asociada.

–Las soluciones dividen la recta real en intervalos. Entonces, probamos un valor de cada intervalo y, si la inecuación es cierta, el intervalo abierto entero es solución.

–Probamos con las soluciones de la ecuación y escribimos la solución completa.

Para resolver una inecuación racional:

–Se obtiene la inecuación equivalente con una fracción en un lado y 0 en el otro.

–Se buscan las raíces de los polinomios del denominador y del numerador.

–Las soluciones dividen la recta en intervalos. Entonces probamos un valor de cada intervalo y, si la inecuación es cierta, el intervalo abierto entero es solución.

–Prueba las raíces del numerador y el denominador y escribe la solución completa.